Diffie Hellman

Grundlagen

• Der Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch ist ein Protokoll zur Schlüsselvereinbarung.
• Es ermöglicht, dass zwei Kommunikationspartner über eine öffentliche, abhörbare Leitung einen gemeinsamen geheimen Schlüssel in Form einer Zahl vereinbaren können, den nur diese kennen und ein potenzieller Lauscher nicht berechnen kann.
• Der dadurch vereinbarte Schlüssel kann anschließend für ein symmetrisches Kryptosystem verwendet werden.
• Unterschiedliche Varianten des Diffie-Hellman-Merkle-Verfahrens werden heute für die Schlüsselverteilung in den Kommunikations- und Sicherheitsprotokollen des Internet eingesetzt.

Farbmodell

Prinzip

Beispiel

Das Beispiel dient zur Veranschaulichung und benutzt deshalb sehr kleine Zahlen. In der tatsächlichen Anwendung werden dagegen Primzahlen mit mindestens mehreren hundert Stellen benutzt.

Berechnung

• Alice legt die beiden öffentlichen Schlüssel $p=13$ und $g=2$ fest.
• p muss auf jeden Fall eine Primzahl sein.
• Alice wählt die Zufallszahl $a=5$ als geheimen Schlüssel.
• Nun berechnet Alice $A=g^{a}modp=2^{5}mod13=32mod13=6$
• Alice sendet $g,p,A$ an Bob.
• Bob wählt die Zufallszahl $b=8$ als geheimen Schlüssel.
• Bob berechnet $B=g^{b}modp=2^{8}mod13=256mod13=9$
• Bob sendet $B$ an Alice.
• Alice berechnet $K_1=B^{a}modp=9^{5}mod13=59049mod13=3$.
• Bob berechnet $K_2=A^{b}modp=6^{8}mod13=1679616mod13=3$.
• Beide erhalten das gleiche Ergebnis $K=K_1=K_2=3$.

Sicherheit

• Die Lauscherin Eve kann zwar die Zahlen 13, 2, 6 und 9 mithören.
• Das eigentliche gemeinsame Geheimnis von Alice und Bob $K=3$ bleibt ihr aber verborgen.
• $K=3$ kann als Schlüssel für die nachfolgende Kommunikation verwendet werden.

Lauschen

• Mit Hilfe der abgefangenen Nachrichten kann Eve immerhin die folgenden Gleichungen aufstellen:

  $6=2^{a}mod13$

  $9=2^{b}mod13$

• Daraus kann sie beispielsweise durch Ausprobieren die beiden geheimen Zahlen $a=5$ und $b=8$ bestimmen.
• Den vereinbarten Schlüssel $K$ von Alice und Bob kann sie nun mit

  $K=g^{ab}modp$ berechnen.

• Wenn jedoch die Primzahl $p$ groß genug gewählt wird und $g$
• ein Generator der Gruppe ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p^{*}$ ist, ist es für Eve zu aufwändig,
• um alle Zahlen zwischen $1$ und $p-1$ durchzuprobieren,
• die als Resultat der modularen Potenz $g^{a}modp$ in Frage kommen.

Perfect Forward Secrecy

• Früher wurden neue Sitzungsschlüssel aus den alten berechnet.
• Das führte zu dem Problem, dass wenn ein Schlüssel geknackt wurde, man den gesamten mitgeschnittenen Datenverkehr entschlüsseln konnte.
• Mittlerweile werden Sitzungsschlüssel mit dem Diffie-Hellman-Verfahren erzeugt.
• Vorteil: Wird ein Sitzungsschlüssel gefunden, kann damit nur ein kleiner Teil des Datenverkehrs entschlüsselt werden.

Script zum berechnen

• Diffie-Hellman-Script

Videos

• Diffie-Hellman principle

https://www.youtube.com/watch?v=NmM9HA2MQGI

• Math part

https://www.youtube.com/watch?v=Yjrfm_oRO0w